Всички окръжности са с еднаква обиколка

Ще докажем, че всички окръжности имат еднаква обиколка. Нека вземем две окръжности k1 и k2, които са с различни радиуси r1<r2 и с общ център O – представете си например страничния изглед на автомобилна гума и нейната джанта. Нека k2 се допира до права (например гумата се допира до земята) в т.A2 и нека OA2 пресича k1 в т.A1.

Завъртаме окръжностите заедно така, че да направят цял оборот по правата (гумата се търкаля по земята). Очевидно точката от окръжността k2, която преди се докосваше до земята в т.A2 сега отново ще се докосва до правата, но в нова т.B2. Ще забележите, че всички точки от окръжността k2 в даден момент са се докосвали до отсечката A2B2. Следователно можем да твърдим, че дължината на A2B2 ще бъде периметъра на окръжността k2.

Нека в новото положение OB2 пресича k1 в т.B1. Очевидно можем да направим същите разсъждения за окръжност k1 и отсечката A1B1 – всички точки на k1 в даден момент от завъртането си са докосвали отсечката. Следователно дължината на A1B1 ще бъде равна на периметъра на окръжността k1.

Да, но дължината на отсечката A1B1 e равна на дължината на отсечката A2B2. Следователно двете окръжности имат еднаква обиколка. Къде допускаме грешка?

Заблудата в задачата се получава от грешното заключение, че щом всяка точка от окръжността се е докосвала в даден момент до земята, то дължината на отсечката е равна на обиколката на окръжността – това е погрешно, защото гъстотата на точките е различна. Ако проследите траекторията на някоя точка от окръжността ще видите, че тя не е по права линия, а се движи по парабола.

Източник на задачата и картинките: http://anadra.ru/sitemath/63.html

Leave a Reply

Your email address will not be published.