Дадени са следните очевидни неравенства (докажете ги):

$$\sin{\left(\frac{\alpha}{2}+\pi\right)} < \sin{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}, 0<\alpha<2\pi\\ \cos{\left(\frac{\alpha}{2}+\pi\right)} < \cos{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}, -\pi<\alpha<\pi$$

Умножаваме ги почленно и получаваме:

$$\sin{\left(\frac{\alpha}{2}+\pi\right)}\cos{\left(\frac{\alpha}{2}+\pi\right)} < \sin{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cos{\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \sin{\left(\alpha+2\pi\right)} < \frac{1}{2}\sin{(\alpha)} \\ \Rightarrow \sin{\left(\alpha+2\pi\right)} < \sin{(\alpha)}$$

Предвид зададените интервали за ъгъл [latex]\alpha[/latex], в левите страни на неравенствата тригонометричните функции приемат отрицателни стойности, докато в десните страни стойностите са положителни. От това следва, че почленното умножение на иначе верните неравенства е некоректно.