Дадени са следните очевидни неравенства (докажете ги):

$$\begin{gathered} \sin (\frac{\alpha }{2}+\pi )<\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right),0<\alpha <2\pi \\ \cos (\frac{\alpha }{2}+\pi )<\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right),-\pi <\alpha <\pi \end{gathered}$$

Умножаваме ги почленно и получаваме:

$$\begin{gathered} \sin (\frac{\alpha }{2}+\pi )\cos (\frac{\alpha }{2}+\pi )<\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\sin (\alpha +2\pi )<\frac{1}{2}\sin (\alpha ) \\ \Rightarrow \sin (\alpha +2\pi )<\sin (\alpha ) \end{gathered}$$

Предвид зададените интервали за ъгъл $\alpha$, в левите страни на неравенствата тригонометричните функции приемат отрицателни стойности, докато в десните страни стойностите са положителни. От това следва, че почленното умножение на иначе верните неравенства е некоректно.