Всяко n=n+1

Нека [latex]n[/latex] е произволно число. Следното тъждество се проверява много лесно, като се разкрият скобите (проверете верността му):

$$n^{2}-n(2n+1) = (n+1)^{2} – (n+1)(2n+1)$$

Нека от двете страни на тъждеството добавим [latex]\left(\frac{2n+1}{2}\right)^{2}[/latex]:

$$n^{2}-n(2n+1)+\left(\frac{2n+1}{2}\right)^{2}= (n+1)^{2} – (n+1)(2n+1)+\left(\frac{2n+1}{2}\right)^{2}$$

Това е същото като:

$$n^{2}-2n\frac{2n+1}{2}+\left(\frac{2n+1}{2}\right)^{2}= (n+1)^{2} – 2(n+1)\frac{2n+1}{2}+\left(\frac{2n+1}{2}\right)^{2}$$

Като приложим формулата за съкратено умножение получаваме:

$$\left(n-\frac{2n+1}{2}\right)^2 = \left(n+1-\frac{2n+1}{2}\right)^2$$

Коренуваме и получаваме:

$$n-\frac{2n+1}{2} = n+1-\frac{2n+1}{2}$$

Като прибавим към двете страни на равенството [latex]\frac{2n+1}{2}[/latex] получаваме:

$$n=n+1$$

 

Грешката се открива в тази стъпка от задачата, в която коренуваме двете страни на равенството, без да сме направили проверка за знака на подкоренната величина. В случая в лявата част на равенството тя е отрицателно число: [latex]n-\frac{2n+1}{2} = \frac{2n-2n-1}{2} = -\frac{1}{2} \lt 0[/latex].
Учениците трябва да запомнят, че ако квадратите на две числа/два израза са равни, то от това не винаги следва, че числата/изразите са равни. Те могат да бъдат равни по абсолютна стойност, но противоположни по знак.
Така тази задача е добър пример, с който може да им бъде “илюстрирано” правилото [latex]\sqrt{a^{2}}=|a|[/latex].
Поради множеството операции и работата с буквени изрази, грешката лесно може да бъде пропусната от учениците. Ето защо задачата е подходяща за проверка на усвоен материал – тогава, когато учениците имат достатъчно опит с по-прости и тривиални примери.

Тази задача лесно може да бъде модифицирана в “доказателство” за това, че 0=1 и т.н.

Leave a Reply

Your email address will not be published.