Ако a и b са положителни числа и a>b, то b>a

Нека са дадени две числа [latex]a \gt 0, b\gt 0[/latex]. Лесно може да се провери, че следните две неравенства са верни:

$$\left|\begin{array}{c}a \gt -b\\b \gt -b\end{array}\right.$$

Ако умножим двете неравенства почленно, ще получим:

$$ab > b^{2}$$

Да разделим двете страни на неравенството на [latex]b \gt 0[/latex] (знакът на неравенството се запазва):

$$a \gt b$$

По същия начин е очевидно, че следните две неравенства са верни:

$$\left|\begin{array}{c}b \gt -a\\a \gt -a\end{array}\right.$$

С умножаване почленно отново се вижда, че [latex]ba \gt a^{2} \Rightarrow b \gt a[/latex]

Така получихме, че за всеки две произволни положителни числа е вярно, че всяко от тях е по-голямо от другото. Къде е допусната грешка в разсъжденията?

 

Заблудата в горния пример произтича от “почленното умножаване” на неравенствата. Добре е на учениците да бъде обърнато внимание, че не съществува теорема, която регламентира изхода от подобно почленно умножаване на еднопосочни неравенства. За да поясним: например от 5>-3 и 3>-3 се получава 5.3>(-3).(-3) или 15>9. Но от 3>-5 и 5>-5 не следва 3.5>(-5).(-5), т.е. 15>25.
Също е важно изрично да се подчертае, че казаното за почленно събиране на еднопосочни числови неравенства не е в сила за почленно изваждане на еднопосочни числови неравенства. Например от почленното изваждане на верните неравества -3>-5 и 8>1 се получава невярното неравенство -11>-6.

Leave a Reply

Your email address will not be published.