Безкрайни суми и приоритет на операциите

Внимание: Задачата е подходяща само за много напреднали ученици – реално тя е по-скоро за университетско ниво.

Нека разгледаме следната безкрайна сума:

$$1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \frac{1}{5} – \frac{1}{6} + \frac{1}{7} – \frac{1}{8} + \frac{1}{9} – \frac{1}{10} + \frac{1}{11} – \frac{1}{12}… \rightarrow \ln{2}$$

Нека сега направим по-добра визуализация преди разместването, което ще последва:

$$\begin{matrix} && \color{red}{-\frac{1}{2}} &&  &&  &&  && \color{blue}{-\frac{1}{6}} &&  && && && \color{green}{-\frac{1}{10}} && && &&\\\color{red}{1} && &&\color{blue}{+\frac{1}{3}} &&  && \color{green}{+\frac{1}{5}} &&  && +\frac{1}{7} && && +\frac{1}{9} && && +\frac{1}{11} && && +…\\ && && && \color{red}{-\frac{1}{4}} &&  &&  && && \color{blue}{-\frac{1}{8}} && && && && \color{green}{-\frac{1}{12}} &&\end{matrix}$$

Забележете как сме оцветили тройки числа в цвят – има червени, сини и зелени. По същия начин можем да продължим да оцветяваме числата нататък в редицата в различни цветове. Може лесно да се провери, че по този начин всички числа ще бъдат оцветени в някакъв цвят!

Сега да направим следното – да разместим числата в редицата по тройки спрямо цветовете им, след което да оградим в скоби първите две числа от всяка тройка:

$$\color{red}{\left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}} + \color{blue}{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{8}} + \color{green}{\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)-\frac{1}{12}} + …$$

Виждаме, че това са числата от същата редица, но разместени, а някои от тях са групирани в скоби. Нека извършим действията в скобите. Ще получим следното:

$$\color{red}{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}} + \color{blue}{\frac{1}{6}-\frac{1}{8}} + \color{green}{\frac{1}{10}-\frac{1}{12}} + …$$

Тази редица е производна на първата. Но ето какво ще получим, ако разположим двете редици една под друга:

$$\begin{matrix} && && && \ln{2} && && && \\ && && && = && && \\ \color{red}{1} &&-\color{blue}{\frac{1}{2}} &&+ \color{green}{\frac{1}{3}} &&-\color{brown}{\frac{1}{4}} &&+\color{orange}{\frac{1}{5}} &&- \frac{1}{6} &&+…\\ && && && = && && && \\ \color{red}{\frac{1}{2}} &&-\color{blue}{\frac{1}{4}} &&+ \color{green}{\frac{1}{6}} &&- \color{brown}{\frac{1}{8}} &&+ \color{orange}{\frac{1}{10}} &&- \frac{1}{12} &&+…\\ && && && = && &&\\ && && && \frac{\ln{2}}{2} && && &&\end{matrix}$$

Така получихме, че [latex]\ln{2} = \frac{\ln{2}}{2} \Rightarrow 1=2[/latex]

Софизмът тук се получава от едно крайно неестествено за учениците свойство на безкрайните суми, а именно: поставянето на скоби променя сумата. Т.е. твърдението, че получената редица е “производна” на първата, не е вярно. Това може лесно да се обясни чрез една значително по-лесна задача. Нека е дадена редицата:

$$1+1-1+1-1+1-1+…$$

Както е известно, тази редица е неопределена. Ако обаче се поставят скоби по следния начин, то редицата клони към 1:

$$1+(1-1)+(1-1)+(1-1)+… \rightarrow 1$$

Поставянето на скоби по различен начин би дало различен резултат:

$$(1+1)-(1+1)-(1+1)-(1+1)-… \rightarrow 0$$

Именно тук е моментът да се обясни, че поставянето на скоби и/или разместването на елементи не са безобидни операции – те променят приоритета за изпълнение на операциите в сумата, като това рефлектира върху крайния резултат. Важно е да се отбележи, че под “приоритет” се има предвид включително и реда на изпълнението им по правилото “от ляво – надясно”.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *