Сумата на всеки две положителни числа е по-голяма от произведението им

Нека a и b са две положителни числа. Очевидно вярно е, че:

$$\lg{\frac{a+b}{ab}} = \lg{\frac{a+b}{ab}} \Rightarrow 2\lg{\frac{a+b}{ab}} \gt \lg{\frac{a+b}{ab}}$$

От свойствата на логаритмите следва, че:

$$\lg{\left(\frac{a+b}{ab}\right)^2} \gt \lg{\frac{a+b}{ab}}$$

Знаем, че ако логаритъмът на едно число е по-голям от логаритъма на друго число, то първото число е по-голямо от второто. Следователно:

$$\left(\frac{a+b}{ab}\right)^2 \gt \frac{a+b}{ab}$$

Съкращаваме и получаваме:

$$\frac{a+b}{ab} \gt 1 \Rightarrow a+b \gt ab$$

Получихме, че сборът на всеки две положителни числа е по-голям от тяхното произведение.

 

Лесно може да се провери, че от [latex]a=3[/latex] и [latex]b=2 \Rightarrow a+b=5[/latex] и [latex]a.b=6[/latex], т.е. има стойности на [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex], за които [latex]a+b \lt a.b[/latex], което противоречи на доказаното в задачата.

Освен това:

$$\frac{a+b}{ab} = \frac{3+2}{3.2} = \frac{5}{6},$$

а както знаем, логаритъм на число по-малко от [latex]1[/latex] е отрицателно число. Тогава още в първото неравенство [latex]2\lg{\frac{a+b}{ab}} \gt \lg{\frac{a+b}{ab}}[/latex] посоката на неравенството е невярна.

В случая, задачата въвежда в заблуда още и чрез твърдението: “Знаем, че ако логаритъмът на едно число е по-голям от логаритъма на друго число, то първото число е по-голямо от второто”. Учениците трябва да запомнят, че това е вярно само когато числото е по-голямо от [latex]1[/latex]. За логаритмите на числата по-малки от [latex]1[/latex] е в сила тъкмо обратното.

Leave a Reply

Your email address will not be published.