От две дроби с числител единица по-голяма е тази с по-големия знаменател

Дадено е очевидното тъждество [latex]\lg{\frac{1}{2}} = \lg{\frac{1}{2}}[/latex]. Ако удвоим лявата му част, ще получим:

$$2.\lg{\frac{1}{2}} \gt \lg{\frac{1}{2}}$$

Ще направим преобразувания в лявата част на това неравенство:

$$2.\lg{\frac{1}{2}} = \lg{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\lg{\frac{1}{4}} \gt \lg{\frac{1}{2}}$$

Като знаем, че на по-голямо число под знака на логаритъм съответства по-голям логаритъм, т.е.:

$$\frac{1}{4} \gt \frac{1}{2}$$

По същия начин за всяко произволно дробно число с числител единица можем да докажем, че колкото по-голям е знаменателят, толкова по-голяма е и самата дроб… Къде сбъркахме?

 

“Като знаем, че на по-голямо число под знака на логаритъм съответства по-голям логаритъм…”. Това обаче е вярно само когато числото е по-голямо от [latex]1[/latex] и именно това условие е премълчано умишлено в задачата.
Поради тривиалността на примера, е подходящо той да бъде “решен” заедно с учениците непосредствено след въвеждане на нови знания в урока за логаритмите. По-конкретно, след излагане на следната теорема:
Т: Нека [latex]a, x, y[/latex] са реални числа. Тогава:
1) Ако [latex]0 \lt a \lt 1[/latex], то [latex]x \lt y \iff a^{x} \gt a^{y}[/latex]
2) Ако [latex]a \gt 1[/latex], то [latex]x \lt y \iff a^{x} \lt a^{y}[/latex]

Leave a Reply

Your email address will not be published.