Знаем отлично, че повдигането на степен може да се представи като сбор по следния начин:

$$ x ^ 2 = \underbrace{x + x + x + … + x}_{x пъти}$$

Нека диференцираме двете страни на това равенство:

$$\frac{d(x ^ 2)}{dx} = \frac{d(x + x + x + … + x)}{dx}$$

Следователно:

$$2x = \underbrace{\frac{d(x)}{dx}+ \frac{d(x)}{dx} + \frac{d(x)}{dx} + … + \frac{d(x)}{dx}}_{x пъти}$$

тоест:

$$2x = \underbrace{1 + 1 + 1 + … + 1}_{x пъти}$$

Откъдето получихме, че

$$2x = x$$

или

$$2 = 1$$

Проблемът в “доказателството” идва от това, че приехме, че

$$\underbrace{x + x + x + … + x}_{x пъти}$$

е линейна функция, а тя не е. Поради тази причина:

$$\frac{d(x + x + x + … + x)}{dx} \neq \frac{d(x)}{dx}+ \frac{d(x)}{dx} + \frac{d(x)}{dx} + … + \frac{d(x)}{dx}$$

Защо това е така? Диференциалът най-простичко ни казва “с колко ще се измени резултата ако леко променим x”. В случая при промяна на x в ляво се получава така, че в дясната страна на равенството ние не просто променяме всяко събираемо, а ние променяме и броя на събираемите. Именно това е причината да кажем, че функцията вдясно не е линейна.